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Méthode :
Calcul d'une limite en un point d'une fonction
Pour calculer la limite en
d'une fonction
, il suffit de déterminer le
de la fonction.
En effet le
est de la forme :
, donc :
.
Exemple :
Exemple 1 : Calculer
.
Méthode :
Calcul d'une limite à l'infini d'une fonction ou d'une limite d'une suite
Pour calculer la limite à l'infini d'une fonction
, on pose
pour se ramener à la recherche d'un développement limité en
.
Pour une suite, la méthode est la même en posant
.
Le calcul peut conduire à des puissances négatives de
.
Exemple :
Exemple 2 : Calculer
.
Méthode :
Recherche d'un équivalent d'une fonction ou d'une suite
On détermine le premier terme non nul du développement limité de
.
Ceci peut être utile par exemple pour étudier la convergence d'une série ou d'une intégrale.
Exemple :
Exemple 3 : Déterminer un équivalent de
au voisinage de
.
Méthode :
Etude locale d'une fonction
Si la fonction
admet un
, alors
est continue en
.
Si la fonction
admet un
, alors
est dérivable en
.
La partie principale du
de la fonction donne l'équation de la tangente à la courbe de
au point d'abscisse
.
Le premier terme non nul suivant permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage du point d'abscisse
.
Supposons par exemple qu'au voisinage de
:
avec
.
Si
est pair et si
, la courbe est au dessus de sa tangente.Si
est pair et si
, la courbe est en dessous de sa tangente.Si
est impair, la courbe traverse sa tangente au point d'abscisse
, donc on a un point d'inflexion.
Exemple :
Exemple 4 : Etudier au voisinage de
la fonction définie par :
si
et
.
Méthode :
Etude d'une fonction à l'infini
Le principe est le même en
: on se ramène à une étude en
en posant
.
Si le développement est de la forme :
, la droite d'équation
est asymptote à l'infini de la courbe de
.
Le premier terme non nul suivant permet de préciser la position de la courbe par rapport à son asymptote.
Supposons par exemple qu'au voisinage de l'infini :
avec
.
Si
est pair et si
, la courbe est au dessus de son asymptote en
.Si
est pair et si
, la courbe est en dessous de son asymptote en
.Si
est impair et si
, la courbe est au dessus de son asymptote en
et en dessous en
.Si
est impair et si
, la courbe est en dessous de son asymptote en
et au dessus en
.
Exemple :
Exemple 5 : Etudier le comportement à l'infini de la fonction
définie par
si
.
