Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'espace euclidien
orienté par sa base canonique
.
On dira qu'une application
de
dans
conserve le produit vectoriel si elle vérifie la propriété :
.
Question
Démontrer que toute rotation vectorielle conserve le produit vectoriel.
Utilisez le produit mixte et la bijectivité de
.
Remarquez que :
.
Remarque :
Dans ce qui suit, le produit scalaire de deux vecteurs
et
est noté
au lieu de
.
Soit
une rotation vectorielle, donc bijective. Donc :
.
Donc :
.
Donc :
car
.
Donc :
. Or
conserve le produit scalaire.
Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Démontrer que si
est une application non nulle de
dans
qui conserve le produit vectoriel, alors :
.
Raisonnez par l'absurde en supposant qu'il existe
tel que
.
Utilisez alors
et son supplémentaire orthogonal.
. Or :
. Donc :
.
Réciproquement, montrons qu'il n'existe pas
tel que
.
On raisonne par l'absurde : on suppose qu'il existe
tel que
. Soit
.
Si
, alors, d'après ce qui précède :
.
Supposons
. Soit
et
. Alors :
.
Donc il existe un réel
et un vecteur
tels que :
.
Supposons que
. Donc
est orthogonal à
. Donc il existe un vecteur
tel que
. Donc :
.
Supposons que
. Soit un vecteur
appartenant à
.Donc
est orthogonal à
. Donc il existe
tel que
.Or
. Donc, d'après ce qui précède :
.Donc :
.
Supposons que
. Donc
et
sont indépendants, donc
.Or
. Donc
est orthogonal à
.Donc il existe
tel que :
. Donc
.Or
est orthogonal à
, donc
, donc
.Donc :
.
Donc :
. Or par hypothèse,
n'est pas l'application nulle.
Donc il n'existe pas
tel que
. Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Démontrer que tout endomorphisme non nul de
qui conserve le produit vectoriel est une rotation.
Démontrez que
transforme une base orthonormale directe
en une base orthonormale directe.
Soit
un endomorphisme non nul qui vérifie :
.
Montrons que
transforme la base orthonormale directe
en une base orthonormale directe.
Montrons que les images de deux vecteurs
et
orthogonaux sont orthogonales.Si
, alors
, donc
et
sont orthogonaux.Si
, alors il existe un vecteur
non nul tel que :
.Donc :
. Donc
et
sont orthogonaux.Donc les vecteurs
,
et
sont deux à deux orthogonaux.
Montrons que les vecteurs
,
et
sont unitaires.
. Et les vecteurs
et
sont orthogonaux.Donc :
. De même :
. Donc :
.Donc :
. Or
, donc
, donc
.Donc :
. Un raisonnement analogue donne :
.Donc les vecteurs
,
et
sont unitaires.
Montrons que les vecteurs
,
et
forment une base orthonormale directe.
est une base orthonormale directe, donc :
.Donc par conservation du produit vectoriel :
.Donc les vecteurs
,
et
forment une base orthonormale directe.
Donc
est un endomorphisme qui transforme une base orthonormale directe en une base orthonormale directe. Donc
est une rotation vectorielle.
Conclusion : Tout endomorphisme non nul de
qui conserve le produit vectoriel est une rotation.
