Caractéristiques des endomorphismes orthogonaux en dimension 3
On suppose l'espace vectoriel euclidien
orienté et rapporté à une base
orthonormale directe.
Méthode :
Endomorphismes orthogonaux directs
Soit
un endomorphisme orthogonal direct de
de matrice
dans
, donc
.
Si
, alors
est une rotation :
On détermine l'axe de la rotation :
.On définit un vecteur
unitaire sur
. Il oriente le plan
: une base
de
est orthonormale directe si
est une base orthonormale directe de
. Alors
est une rotation plane d'angle
. Donc dans la base
, la matrice de
est
.On déduit
de
et
est du signe de tout produit mixte
si
n'est pas colinéaire à
.
Méthode :
Endomorphismes orthogonaux indirects
Soit
un endomorphisme orthogonal indirect de
de matrice
dans
, donc
.
Si
, alors
est soit une réflexion, soit la composée d'une rotation et d'une réflexion :
Si
(matrice
symétrique), alors
est la réflexion par rapport au plan
.Sinon
où
est une rotation et
une réflexion. L'axe de la rotation
est
. On en déduit la réflexion
par rapport au plan
. On en déduit la rotation
. L'angle
de la rotation est déterminé comme précédemment.
