Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Déterminer la matrice dans la base canonique de
de la réflexion
par rapport au plan
d'équation
.
Pour tout vecteur
,
appartient à
et
appartient à
.
Tout vecteur
a une image
qui vérifie :
et
.
Or
est la droite engendrée par le vecteur
.
Donc il existe un réel
tel que
. Donc :
.
Et :
. Donc :
, donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La matrice de la réflexion
est
.
Question
Déterminer la matrice dans la base canonique de
de la rotation
d'angle
et d'axe
orienté par le vecteur
.
Ecrivez la matrice de
dans une base orthonormée directe
où
est colinéaire et de même sens que
.
Puis effectuez le changement de base.
Le vecteur unitaire et de même sens que
est
.
Le plan orthogonal à
a pour équation
.
Le vecteur unitaire
appartient à
, donc si
, alors
est une base orthonormale directe de
car
est une base orthonormale directe de
.
La matrice de
dans la base
est :
.
Donc la matrice de
dans la base canonique est
où
est la matrice de passage de la base canonique à la base
.
Donc : Q=
et
.
Conclusion : La matrice de
est
.
Question
Démontrer qu'il existe une réflexion
, dont on précisera le plan, telle que :
.
Raisonnez sur les matrices.
Le plan
de la réflexion contient l'axe
de la rotation. Donc
est un endomorphisme orthogonal indirect dont l'ensemble
des vecteurs invariants contient
, donc
. Donc
est une réflexion et
.
La matrice de
est :
.
Conclusion : La matrice de
est
.
Soit
le plan de la réflexion
.
si et seulement si :
.
si et seulement si :
.
Donc
si et seulement si :
car
.
Conclusion :
est la réflexion par rapport au plan d'équation
.
