Applications linéaires

Exo 11

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux espaces vectoriels de dimensions finies.

Question

Montrer que si et appartiennent à , alors : .

Indice

Commencez par démontrer que en utilisant les images des endomorphismes.

Puis remarquez que et .

Solution

.

Donc . Donc .

Or le rang est la dimension de l'image. Donc : .

Et : . Donc : .

Or . Donc . Donc : .

De même . Donc .

Conclusion : .

Question

Montrer que si et si et sont des endomorphismes de tels que soit inversible et , alors .

Indice

Traduisez les hypothèses par des propriétés des images, donc des rangs.

Solution

est inversible, donc , donc , donc .

, donc , donc .

Or d'après le théorème du rang : . Donc : .

Conclusion : .

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