Applications linéaires

Exo 9

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel .

Question

Démontrer que : .

Puis démontrer que : .

Indice

Démontrez l'équivalence par double implication.

Solution

en posant . Donc .

Conclusion : .

Montrons l'équivalence en deux étapes :

  • Supposons que : .

    , donc . Donc .

    Donc : , donc appartient à .

    Donc : , donc .

    Donc : . Or .

    Donc : .

  • Réciproquement, supposons que : .

    Soit . Donc il existe tel que .

    Or , donc avec .

    Donc , donc .

    Donc . Or .

    Donc .

Conclusion : .

Question

Démontrer que : .

Puis démontrer que : .

Indice

Démontrez l'équivalence par double implication.

Solution

, donc , donc .

Conclusion : .

Montrons l'équivalence en deux étapes :

  • Supposons que : .

    Soit . Donc et il existe tel que .

    Donc , donc , donc , donc .

    Donc : .

  • Réciproquement, supposons que : .

    Soit . Donc : , donc . Or .

    Donc , donc , donc .

    Donc . Or .

    Donc .

Conclusion : .

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