Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
et l'application
qui à tout polynôme
associe le reste de la division euclidienne de
par
.
Question
Montrer que
est un endomorphisme de
.
Explicitez la division euclidienne et montrez que
est linéaire.
Pour tout
, il existe un unique couple de polynômes
tel que :
avec
. Et
.
Donc
est une application de
dans
.
Soient
et
deux polynômes de
, et
un complexe.
avec
. Et
.
avec
. Et
.
.
.
Or :
.
Donc
est le reste de la division euclidienne de
par
.
Donc
.
Conclusion :
est un endomorphisme de
.
Question
Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme
.
Commencez par déterminer le noyau de
en utilisant les racines
èmes de l'unité.
Puis utilisez le théorème du rang pour trouver l'image de
.
Un polynôme
appartient à
si et seulement si
, donc si
est divisible par
, donc si il existe un polynôme
tel que
.
Or
. Donc
appartient à
si et seulement si :
.
Donc
appartient à
si et seulement si
.
Or
. Donc
est de la forme
.
La réciproque est évidente car si
, alors
, donc est divisible par
.
Or
. Donc
est divisible par
. Donc
.
Conclusion :
.
Donc
. Donc d'après le théorème du rang :
.
De plus
.
Or si
:
et
si
.
Donc
si
.
Et :
.
Donc
si et seulement si
.
Donc la famille
est libre. Elle comprend
vecteurs.
Donc c'est une base de
car
. Donc
.
Conclusion :
.
