Suites numériques

Supposons qu'il existe une suite géométrique de premier terme 1 et de raison , ; .

Cette suite est une suite de Fibonacci si et seulement si, pour tout :

Cette équation du second degré admet comme seule racine positive le nombre .

a. Un tableur, par exemple, permet d'obtenir les valeurs suivantes :

b.Soit un entier naturel.

(R_n) est définie par

étant la fonction définie par .

La représentation graphique de la fonction dans un repère est une hyperbole : c'est l'image de l'hyperbole d'équation par la translation de vecteur .

Pour placer les termes de la suite , on place sur l'axe des abscisses. Le point de d'abscisse a pour ordonnée . On reporte sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation .

On réitère le procédé en partant de , puis de , etc.

Le graphique trouvé est le suivant :

c. Soit un entier quelconque ; , étant la fonction .

On a, pour , .

La représentation graphique de la fonction dans un repère est une hyperbole : c'est l'image de l'hyperbole d'équation par la translation de vecteur . Ses asymptotes sont les droites d'équations et .

Construction de :

On a également . De plus Ceci permet de construire le graphique suivant (le principe de construction est toujours le même) :

De la même manière : , et Ceci permet de construire le graphique suivant :

d. Les questions précédentes permettent de conjecturer que :

• est convergente vers l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de et de la droite d'équation , c'est-à-dire vers la solution positive de l'équation , autrement dit vers le nombre .

• La suite est croissante, la suite est décroissante, leur différence converge vers . De plus il semble que .

a. Démontrons deux résultats préliminaires.

Nous avons vu que . Il s'ensuit que .

De plus la fonction est dérivable pour et , par conséquent la fonction est strictement croissante sur .

On peut aussi démontrer que est strictement croissante comme composée de la fonction décroissante avec elle même.

Démontrons que pour tout entier , .

On a bien sûr .

Supposons que pour un entier , . La fonction étant strictement croissante sur , on a , et puisque , et : .

La propriété est héréditaire ; en vertu du principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier .

Démontrons de même que pour tout entier , .

On a bien sûr .

Supposons que pour un entier n, . La fonction étant strictement croissante sur , on a : , soit .

La propriété est héréditaire ; en vertu du principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier .

b. Nous connaissons et : on a donc .

Supposons que pour un entier , . La fonction est strictement croissante sur , et sont positifs, on a donc , et .

La propriété est héréditaire ; en vertu du principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier .

Par conséquent la suite est bien strictement croissante.

Un raisonnement analogue permettrait de démontrer que est strictement décroissante.

c. Rappelons les premiers termes de la suite :

, , , ,

On a dans l'ordre :

On sait que et que la suite est croissante, donc pour , .

On sait que et que la suite est décroissante, donc pour , .

De plus pour tout n, , donc pour : .

A partir du rang 1, les termes de rang pair et les termes de rang impair de sont tous dans l'intervalle .

Soit un entier, .

La propriété est vraie pour . En effet .

Supposons qu'elle soit vraie pour un entier , c'est-à-dire .

Comme , et donc .

Or donc , ce qui assure l'hérédité de la propriété qui est ainsi démontrée par récurrence.

d. Nous savons déjà que les suites et sont respectivement croissante et décroissante.

De plus .

En appliquant le résultat précédent, on obtient, pour :

Nous savons aussi que .

Donc, pour , .

Or : c'est la limite d'une suite géométrique de raison : en effet .

En utilisant un théorème de comparaison, , et les suites sont adjacentes.

Elles ont donc une limite commune qui est .