Suites numériques

a. On sait que pour tout N.

En utilisant cette relation pour , on obtient .

On sait que pour tout N.

En utilisant cette relation pour , on obtient .

On peut ensuite obtenir :

b. Avec un tableur, on écrit dans la cellule A1 la valeur de c'est-à-dire 2.

On écrit dans la cellule B1 la formule = 2/A1 qui correspond à la relation .

On écrit dans la cellule A2 la formule = (A1 + B1)/2 qui correspond à la relation .

On peut recopier vers le bas les formules contenues dans les cellules B1 et A2 puisque les relations et sont valables pour tout N.

On obtient alors :

On considère la proposition : « et ».

On a et , donc et , donc est vraie.

Supposons que P(k) est vraie pour un entier naturel k fixé.

On a alors et .

On en déduit : , donc , donc .

C'est-à-dire que : .

D'autre part on sait que la fonction est décroissante sur , on peut alors en déduire que donc , c'est-à-dire .

On a donc et , c'est-à-dire que est vraie.

On a donc démontré par récurrence que est vraie pour tout N.

On a donc : et pour tout N.

Les suites et sont donc minorées par 1 et majorées par 2.

Donc .

Or on a : , c'est-à-dire , donc .

On en déduit :

On a donc, pour tout N : .

D'après le 2., on a .

La relation permet alors d'en déduire que .

Donc pour tout N.

De plus on a et , donc .

On en déduit que pour tout N.

On peut écrire .

On a vu que pour tout N, donc .

On en déduit que , c'est-à-dire pour tout N.

Donc la suite est décroissante.

D'autre part .

Sachant que et que et , on en déduit que :

, c'est-à-dire pour tout N.

Donc la suite est croissante.

On sait que pour tout N, et , donc .

On en déduit : , c'est-à-dire .

On a donc en particulier pour tout N.

On sait d'autre part que :

Or on a vu au 4. que , c'est-à-dire et on a démontré que .

On a donc : pour tout N.

On peut en déduire : pour tout N.

On sait que :

On peut diviser les deux membres de cette inégalité par qui est un réel strictement positif.

On obtient

On a vu au 3. que , on peut alors en déduire que .

Or et donc donc (puisque la fonction inverse est décroissante sur ).

On en déduit puisque .

On a donc démontré que pour tout N :

et .

On en déduit que : pour tout N.

Cette relation, utilisée successivement avec , , , etc. permet de justifier de proche en proche que :

En poursuivant ainsi le raisonnement, on obtient :

pour tout N.

(On pourrait démontrer cette propriété de façon plus formelle en utilisant le raisonnement par récurrence)

On sait de plus, d'après 6. que .

On en déduit : pour tout N.

On sait que pour tout .

Comme , on a , donc .

Le théorème « des gendarmes » permet alors de conclure que : .

La suite est croissante, la suite est décroissante et .

Donc les suites et sont adjacentes.

On sait que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Soit la limite commune des suites et .

Puisqu'on sait que pour tout N, , on a :

donc donc .

Les suites et étant positives, leur limite est nécessairement positive.

On a donc .

Les suites et ont pour limite commune .

Les suites et sont deux suites de nombres rationnels, en effet elles sont définies par récurrence à partir de sommes et de quotients de nombres entiers. Leur limite commune est un nombre irrationnel.

Une suite convergente de nombres rationnels n'a donc pas nécessairement pour limite un nombre rationnel.