Suites numériques

est la somme et le produit de fonctions dérivables sur R , donc est dérivable sur R et on a :

, donc pour tout R.

Pour donner un encadrement de , on peut utiliser son sens de variation.

est la somme et le produit de fonctions dérivables sur R , donc est dérivable sur R et on a :

,

donc ,

c'est-à-dire pour tout R.

La fonction exponentielle étant positive sur R , on en déduit que pour tout R.

Donc la fonction est croissante sur R .

Pour tout on a alors :

Or , donc

( à près)

et , donc

( à près).

On en déduit : ,

donc pour tout .

est une fonction croissante sur puisque sa dérivée est positive sur cet intervalle.

Pour tout on a alors : .

Or , donc

( à près)

et , donc

(1 + 6e^-2 ≈ 1,81 à 10^-2 près).

On en déduit : ,

donc pour tout .

La fonction est définie sur par .

est dérivable sur et on a .

On sait que pour tout , donc , c'est-à-dire pour tout .

est négative sur , donc g est décroissante sur .

Si et sont deux réels de l'intervalle tels que , on a alors .

C'est-à-dire que , donc .

De plus est une fonction croissante sur et comme on a donc .

Pour tout et tout dans tels que , on a donc : , donc .

Lorsque et sont dans l'intervalle avec , on peut utiliser la propriété précédente en notant que et on obtient : .

Or on sait que et , on a donc encore .

On a finalement démontré que pour tout et tout dans : .

Les points d'intersection de et , ont pour abscisses les réels tels que , c'est-à-dire tels que .

On considère la fonction définie sur par .

est dérivable sur et on a .

On sait que pour tout , donc , donc pour tout .

est strictement négative sur , donc est strictement décroissante sur cet intervalle.

De plus est continue (puisqu'elle est dérivable) sur .

Donc, pour tout , l'équation a une solution unique dans .

et on sait que , donc .

et on sait que , donc .

On en déduit que .

Par conséquent l'équation a une solution unique dans .

L'équation a donc pour solution unique dans , c'est-à-dire que et d ont un point d'intersection unique ayant pour abscisse .

a. La suite est définie par et pour tout entier naturel , .

Considérons la proposition : .

On sait que , donc la proposition est vraie.

Supposons que la proposition est vraie pour un entier fixé ( N).

Alors on a : .

D'après le résultat du 1., on en déduit que : ,

c'est-à-dire . On en déduit qu'alors est vraie.

On a donc démontré que est vraie et que si est vraie pour N, alors est vraie.

On peut conclure, en utilisant le raisonnement par récurrence, que la proposition P(n) est vraie pour tout N.

On a donc : pour tout N.

b. On a vu que pour tout et tout dans : et on sait que et sont des éléments de l'intervalle .

On en déduit que : .

En remarquant que , on obtient : pour tout N.

On peut alors écrire :

En poursuivant ainsi on obtient :

pour tout N.

(On pourrait démontrer cette propriété de façon plus formelle en utilisant le raisonnement par récurrence)

De plus on sait que et que .

On en déduit que : .

On obtient finalement : pour tout N.

c. On a , donc .

On en déduit que : .

d. On sait que pour tout N.

Pour obtenir , il suffit donc de choisir tel que .

On a :

(la fonction est croissante sur )

( est un nombre négatif)

On a (à près), on peut donc prendre .

Donc pour tout entier supérieur ou égal à 17.

On aurait aussi pu chercher avec un tableur ou une calculatrice les valeurs successives de et constater que est inférieur à pour et par conséquent pour tout entier .

e. Avec un tableur on écrit dans la cellule A1 la valeur 1 correspondant à , puis dans la cellule A2 la formule = A1 -1 + (A1^2 + 2)* exp(-A1) correspondant à la relation de récurrence . On recopiera ensuite cette formule vers le bas jusqu'à la ligne 18 pour obtenir la valeur de .

On obtient alors :

Donc .

Comme on sait que , on en déduit que 1,32 est une valeur approchée de à près.