Limite, Continuité, Dérivée, Sens de Variation

a. On dresse le tableau de variations de la fonction :

b. On pose et deux fonctions définies sur R par :

et

D'après les hypothèses et .

Or donc .

donc .

c. Puis on en déduit le signe de la fonction et le tableau de variations de .

Une équation de la tangente à au point d'abscisse α est :

En appliquant avec ; on obtient et .

D'où une équation de la tangente :

est au-dessus de sa tangente si et seulement si .

Pour étudier la position de par rapport à il suffit donc d'étudier le signe de la fonction auxiliaire définie sur R par :

Afin de déterminer le signe d'une fonction, une méthode classique en analyse consiste à étudier les variations de cette fonction.

est dérivable sur R et .

D'après l'étude des variations de la fonction , pour tout réel , (on a par ailleurs : ).

Par conséquent : sur R, est positive et s'annule en .

Donc la fonction est strictement croissante sur R.

Or

Des résultats précédents, on déduit le tableau de signe de :

On place les points de : ( ;0) ; (0 ;1) ; (1 ;0) ; (4 ;) ; (7 ;0).

On trace les tangentes horizontales en les points (0 ;1) et (4 ;).

On trace la tangente et les deux asymptotes et .

On obtient un graphique du type :