Exo 21
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé
et un réel
.
Soit
la conique de foyer
, d'excentricité
et dont la directrice
a pour équation :
.
Question
On appelle courbe orthoptique de la conique
l'ensemble
des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes à
qui sont orthogonales.
Question
On suppose que :
. Déterminer la courbe orthoptique de
.
Paramétrez la conique et cherchez à quelle condition les tangentes en deux points
et
sont orthogonales.
On suppose que
, donc la conique est une parabole.
Son axe est la droite passant par
et orthogonale à
. Il coupe
en un point
et le sommet
est le milieu de
.
Le paramètre est la distance entre le foyer
et la directrice
, donc :
.
Donc la parabole a pour équation réduite
dans un repère
.
La parabole
admet donc comme représentation paramétrique :
et
.
La tangente au point
a pour vecteur directeur :
.
Donc les tangentes aux points
et
sont orthogonales si et seulement si :
.
Donc la courbe orthoptique
est l'ensemble des points
d'intersection des tangentes à la parabole aux points
et
quand
décrit
.
La tangente en
a pour équation :
, donc
.
On en déduit la tangente en
en remplaçant
par
.
Son équation est :
, donc :
.
Donc
est l'ensemble des points
qui vérifient les deux équations.
Donc :
et
. Or quand
décrit
,
décrit
.
Donc
est la droite d'équation :
.
Conclusion : La courbe orthoptique de la parabole est sa directrice.
Remarque :
Ce résultat est vrai pour toutes les paraboles.
Question
On suppose que :
. Déterminer la courbe orthoptique de
.
Paramétrez la conique et cherchez à quelle condition les tangentes en deux points
et
sont orthogonales.
On suppose que
, donc la conique est une hyperbole.
L'équation est :
, donc :
.
L'hyperbole
admet donc comme représentation paramétrique :
et
.
La tangente au point
a pour vecteur directeur
.
Donc les tangentes aux points
et
sont orthogonales si et seulement si :
.
Cette équation n'admet pas de solution. On ne trouve jamais deux tangentes orthogonales.
Conclusion : La courbe orthoptique de l'hyperbole est l'ensemble vide.
Remarque :
La courbe orthoptique d'une hyperbole n'est pas toujours l'ensemble vide.
Si l'excentricité est inférieure à
, la courbe orthoptique d'une hyperbole de centre
et d'équation réduite
est le cercle de centre
et de rayon
.
Question
On suppose que :
. Déterminer la courbe orthoptique de
.
Paramétrez la conique et cherchez à quelle condition les tangentes en deux points
et
sont orthogonales.
On suppose que :
, donc la conique est une ellipse.
L'équation équivaut à :
.
Les coordonnées du centre
vérifient :
, donc :
.
Donc le centre de l'ellipse est :
.
Et il existe un repère
où l'équation de
est :
avec
.
La distance entre
et
est :
.
L'excentricité est :
. Or :
. Donc :
.
Et :
, donc
. Donc l'équation réduite est :
.
L'ellipse
admet donc comme représentation paramétrique :
et
.
La tangente au point
a pour vecteur directeur :
.
Les tangentes en
et
sont orthogonales si et seulement si :
, donc si et seulement si :
, donc si :
.
Or un point
appartient à la courbe orthoptique
s'il est point d'intersection de deux tangentes orthogonales, donc si et seulement si il existe
et
tels que :
avec :
.
Le déterminant du système est :
.
Il est non nul car
n'est pas un multiple de
sinon les tangentes seraient parallèles.
Donc :
et :
.
Donc :
et
.
Donc
appartient à
si et seulement si :
.
Donc la courbe orthoptique
est le cercle d'équation :
.
Conclusion : La courbe orthoptique de l'ellipse est le cercle de centre
et de rayon
.
Remarque :
Plus généralement, la courbe orthoptique d'une ellipse de centre
et d'équation réduite
est le cercle de centre
et de rayon
.
