Exo 18
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé
et un réel
.
Soit
la conique d'équation :
.
Question
Déterminer la nature de la conique
suivant les valeurs de
.
Déterminez son équation réduite.
Avec les notations du cours :
.
Donc la conique est dégénérée si et seulement si
.
La matrice
a pour valeurs propres
et
.
Elles sont distinctes si et seulement si
.
Si
, le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation
.
Et le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation
.
Donc on pose :
et
.
Soient
et
les coordonnées du point
dans le repère
.
Donc :
, donc :
et
.
En remplaçant, on obtient l'équation de
dans
:
.
Si
, l'équation équivaut à :
. Soit
dans
.
L'équation de
dans
est :
. Donc
est une parabole.
Si
, l'équation équivaut à :
.
Soit
le point de coordonnées
et
dans
.
L'équation de
dans
est :
.
Si
, les deux coefficients sont positifs, donc
est une ellipse.
Si
, les deux coefficients sont de signes contraires, donc
est une hyperbole.
Si
, l'équation est :
. Donc
est un cercle.
Conclusion : La conique
est un cercle si
, une ellipse si
, une parabole si
et une hyperbole si
.
Question
Tracer la conique
pour
.
Si
, la conique est un cercle.
L'équation dans
est :
. Donc le centre est
et le rayon est
.
a pour coordonnées
et
dans
, donc
dans
.
Conclusion : Si
,
est le cercle de centre
et de rayon
.
Question
Tracer la conique
pour
.
A partir de l'équation réduite, calculez
,
et
, et utilisez les formules du cours.
Si
, la conique est une ellipse.
L'équation dans
est :
. Donc :
et
.
, donc :
et l'excentricité est :
.
a pour coordonnées
et
dans
, donc
dans
.
Pour tracer la courbe, on place le point
|  |
Les formules de changement de repère sont :
, et :
.
Conclusion : Si
, la conique
est une ellipse de centre
, d'excentricité
.
Ses sommets sont :
,
,
et
.
Ses foyers sont :
et
.
Les directrices associées ont pour équations :
et
.
Question
Tracer la conique
pour
.
A partir de l'équation réduite, calculez
, et utilisez les formules du cours.
Si
, la conique est une parabole.
Le point
a pour coordonnées
dans
, donc
dans
.
Et l'équation de
dans
est :
, donc
.
Pour tracer la courbe, on place le point
|  |
Les formules de changement de repère sont :
, et :
.
Conclusion : Si
, la conique
est une parabole de sommet
, d'axe d'équation
.
Son foyer est :
, et la directrice a pour équation :
.
Question
Tracer la conique
pour
.
A partir de l'équation réduite, calculez
,
et
, et utilisez les formules du cours.
Si
, la conique est une hyperbole.
L'équation dans
est :
. Donc :
et
.
Donc :
et l'excentricité est :
.
a pour coordonnées
et
dans
, donc
dans
.
Pour tracer la courbe, on place le point
|  |
Les formules de changement de repère sont :
, et :
.
Conclusion : Si
, la conique
est une hyperbole de centre
, d'excentricité
.
Ses sommets sont :
et
.
Ses foyers sont :
et
.
Les directrices associées ont pour équations
et
.
Les asymptotes ont pour équations
et
.
