Courbes planes

Cours

Exo 18

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé et un réel .

Soit la conique d'équation : .

Question

Déterminer la nature de la conique suivant les valeurs de .

Indice

Déterminez son équation réduite.

Solution

Avec les notations du cours : .

Donc la conique est dégénérée si et seulement si .

La matrice a pour valeurs propres et .

Elles sont distinctes si et seulement si .

Si , le sous-espace propre associé à est la droite d'équation .

Et le sous-espace propre associé à est la droite d'équation .

Donc on pose : et .

Soient et les coordonnées du point dans le repère .

Donc : , donc : et .

En remplaçant, on obtient l'équation de dans : .

Si , l'équation équivaut à : . Soit dans .

L'équation de dans est : . Donc est une parabole.

Si , l'équation équivaut à : .

Soit le point de coordonnées et dans .

L'équation de dans est : .

Si , les deux coefficients sont positifs, donc est une ellipse.

Si , les deux coefficients sont de signes contraires, donc est une hyperbole.

Si , l'équation est : . Donc est un cercle.

Conclusion : La conique est un cercle si , une ellipse si , une parabole si et une hyperbole si .

Question

Tracer la conique pour .

Solution

Si , la conique est un cercle.

L'équation dans est : . Donc le centre est et le rayon est .

a pour coordonnées et dans , donc dans .

Conclusion : Si , est le cercle de centre et de rayon .

Question

Tracer la conique pour .

Indice

A partir de l'équation réduite, calculez , et , et utilisez les formules du cours.

Solution

Si , la conique est une ellipse.

L'équation dans est : . Donc : et .

, donc : et l'excentricité est : .

a pour coordonnées et dans , donc dans .

Pour tracer la courbe, on place le point , les axes parallèles à la première et à la deuxième bissectrices passant par . Sur l'axe parallèle à la première bissectrice, on reporte de chaque côté de la longueur pour avoir deux sommets. Sur l'autre axe, on reporte de chaque côté de la longueur pour avoir les deux autres sommets, la longueur pour avoir les deux foyers et la longueur pour tracer les deux directrices.

Les formules de changement de repère sont : , et : .

Conclusion : Si , la conique est une ellipse de centre , d'excentricité .

Ses sommets sont : , , et .

Ses foyers sont : et .

Les directrices associées ont pour équations : et .

Question

Tracer la conique pour .

Indice

A partir de l'équation réduite, calculez , et utilisez les formules du cours.

Solution

Si , la conique est une parabole.

Le point a pour coordonnées dans , donc dans .

Et l'équation de dans est : , donc .

Pour tracer la courbe, on place le point et les axes parallèles à la première et à la deuxième bissectrices passant par . Dans le repère , on trace le graphe de la fonction .

Les formules de changement de repère sont : , et : .

Conclusion : Si , la conique est une parabole de sommet , d'axe d'équation .

Son foyer est : , et la directrice a pour équation : .

Question

Tracer la conique pour .

Indice

A partir de l'équation réduite, calculez , et , et utilisez les formules du cours.

Solution

Si , la conique est une hyperbole.

L'équation dans est : . Donc : et .

Donc : et l'excentricité est : .

a pour coordonnées et dans , donc dans .

Pour tracer la courbe, on place le point , les axes parallèles à la première et à la deuxième bissectrices passant par . Sur l'axe parallèle à la deuxième bissectrice, on reporte de chaque côté de la longueur pour avoir deux sommets, la longueur pour avoir les deux foyers et la longueur pour tracer les deux directrices.