Coniques
On suppose que le plan affine euclidien
est rapporté à un repère orthonormal
.
Définition :
Une conique est une courbe plane qui admet une équation de la forme :
avec
.
La conique est dégénérée si
.
Donc, si
, on dira que la conique est non dégénérée.
On peut remarquer qu'un cercle est une conique non dégénérée.
Fondamental :
La conique admet en tout point une tangente d'équation :
.
C'est un cas particulier de la tangente à une courbe implicite, mais la forme est adaptée à l'équation de la conique.
Exemple : Soit
la conique d'équation
.
Le point
appartient à
et la tangente en
a pour équation :
.
Donc la tangente à
en
a pour équation :
.
Fondamental :
Coniques non dégénérées (ou coniques à centre)
Soit
une conique non dégénérée.
Il existe un unique point
tel que
. Il existe un repère orthonormal
dans lequel l'équation de la conique est de la forme :
avec
et
.Le point
est centre de symétrie et les droites
et
sont axes de symétrie de la conique
.Si
(donc
), et :si
, alors :
.si
, alors :
.si
, alors
est une ellipse d'équation réduite :
. [1]
Les cercles sont des cas particuliers d'ellipses.
Les ellipses n'ont pas de branches infinies.
Les hyperboles ont deux asymptotes d'équations
et
dans le repère
.
Remarque :
Les deux derniers cas ne correspondent pas à deux types différents d'hyperbole : si l'on intervertit les vecteurs
et
, on passe d'un type d'équation à l'autre.
Dans l'exemple précédent, la conique
est non dégénérée car
.
On commence par déterminer son centre
.On pose :
.Donc :
et
.Donc les coordonnées du centre sont solution du système :
. Donc le centre de la conique est
.Ensuite, on détermine le repère
. MéthodeLa matrice
a pour valeurs propres
et
.Le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation :
.Le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation
.On choisit donc les vecteurs
et
.Enfin, on détermine l'équation réduite.
Soient
les coordonnées du point
dans le repère
.
, donc
.Donc
et
.En remplaçant dans l'équation de
, on obtient :
.Donc l'équation de
dans le repère
est :
.Il s'agit donc d'une hyperbole de centre
sous la seconde forme. Courbe[4].Les asymptotes ont pour équations
et
dans le repère
.Les points d'intersection avec l'axe
ont pour ordonnée
dans le repère
.
Fondamental :
Conique dégénérée
Soit
une conique dégénérée.
Il existe un repère dans lequel l'équation de la conique est de la forme :
avec
.Si
,
est
, ou une droite, ou la réunion de deux droites parallèles.Si
,
est une parabole d'équation réduite :
. [5]
Suivant le choix des axes, on peut obtenir comme équation réduite d'une parabole
ou
.
Exemple : Soit
la conique d'équation
.
Il s'agit d'une conique dégénérée car
.
On détermine les vecteurs
et
comme dans le cas précédent.La matrice
a pour valeurs propres
et
.Le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation :
.Le sous-espace propre associé à
est la droite d'équation
.On choisit donc les vecteurs
et
.On écrit l'équation dans le repère
.Soient
les coordonnées du point
dans le repère
.
.Donc
et
.En remplaçant dans l'équation de
, on obtient :
.Enfin, on détermine l'équation réduite.
L'équation équivaut à :
.Soit
le point de coordonnées
et
dans
, donc
dans
.Donc l'équation de
est
dans le repère
.Donc la courbe
est une parabole de sommet
et d'axe
. Courbe[6].
Fondamental :
Définition monofocale
Soit une droite
, un point
et un réel
.
L'ensemble
est une conique.
On dira qu'il s'agit de la conique de foyer
, de directrice
et d'excentricité
.
C'est une ellipse (qui n'est pas un cercle) si
, une parabole si
une hyperbole si
.
Conséquence : Il existe un repère dans lequel la représentation polaire de la conique est de la forme :
.
La réciproque est vraie : toutes les ellipses (sauf les cercles), les paraboles et les hyperboles peuvent être définies de cette façon.
Fondamental :
Toute ellipse qui n'est pas un cercle possède deux foyers et deux directrices associées, mais une seule excentricité. Si son équation est
|  |
Si
, il suffit d'intervertir l'abscisse et l'ordonnée (et donc
et
) dans les formules précédentes.
Fondamental :
Toute hyperbole possède deux foyers et deux directrices associées, mais une seule excentricité. Si son équation est
|  |
Si l'équation est
, il suffit d'intervertir l'abscisse et l'ordonnée (et donc
et
) dans les formules précédentes.
Fondamental :
Toute parabole possède un seul foyer et une seule directrice, et son excentricité est
Si son équation est
|  |
Si l'équation est
, il suffit d'intervertir l'abscisse et l'ordonnée dans les formules précédentes.
Fondamental :
Définition bifocale
Soient
et
deux points distincts.
L'ensemble
est une ellipse de foyers
et
si
.L'ensemble
est une hyperbole de foyers
et
si
.
Réciproquement, toute ellipse (autre qu'un cercle) et toute hyperbole peut être définie sous forme bifocale.
