Exo 16
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère le plan affine euclidien
de repère orthonormé
.
Soit
la courbe d'équation :
.
Question
Etudier les symétries de la courbe
.
Soit
la fonction définie par :
.
On remarque que :
.
Conclusion : La courbe
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Question
Montrer que la courbe
est incluse dans une partie bornée du plan.
Ramenez vous à des équations du second degré.
L'équation de
peut s'écrire :
.
C'est une équation du second degré en
.
Son discriminant :
est négatif si et seulement si
. Alors l'équation n'aura pas de solution.
Donc tous les points de la courbe
vérifient :
.
En posant
, l'équation de
s'écrit :
.
C'est une équation du second degré en
de discriminant :
.
Il est négatif si et seulement si
ou
. Alors l'équation n'aura pas de solution.
Donc tous les points de la courbe
vérifient :
.
Donc la courbe
est incluse dans
.
Conclusion : La courbe
est incluse dans une partie bornée du plan.
La courbe
n'admet donc pas de branche infinie.
Question
Déterminer les points stationnaires de
et préciser leur tangente.
Résolvez l'équation :
.
Puis étudiez la limite de
quand
tend vers
.
La fonction
est polynômiale, donc de classe
sur
.
Ses dérivées partielles sont :
et
.
Un point est stationnaire si et seulement si :
.
Or :
si et seulement si
ou
, avec
.
Si
, alors :
.
Donc :
si et seulement si
ou
ou
.
Et :
si et seulement si
avec
.
Or, si
, alors
.
Donc :
si et seulement si
ou
.
Conclusion : La courbe
admet un unique point stationnaire, le point
.
Pour obtenir les tangentes au point
, il faut étudier la limite de
quand
et
tendent vers
avec
.
Si
, l'équation de
peut s'écrire :
.
Si
et
tendent vers
, alors
tend vers
, donc
tend vers
.
Conclusion : Au point
, deux branches de la courbe
se coupent, l'une avec une tangente de pente
, l'autre avec une tangente de pente
.
Question
Préciser les points réguliers de
où la tangente est horizontale ou verticale.
Résolvez les équations
et
.
La courbe
admet un unique point stationnaire, le point
.
Conclusion : Tous les points de
sauf le point
sont réguliers.
La tangente en
est horizontale si
et
.
Conclusion : Il y a une tangente horizontale en quatre points
,
,
et
.
La tangente en
est verticale si
et
.
Conclusion : Il y a une tangente verticale en deux points
et
.
Question
Etudier suivant les valeurs de
et
le signe du coefficient directeur de la tangente pour les autres points réguliers de
.
Utilisez l'équation de la tangente en un point régulier.
Le coefficient directeur de la tangente en
est :
.
Donc
est du signe de :
.
Ce signe dépend de la position du point
par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport aux deux paraboles d'équations
et
.
Question
En déduire l'allure de la courbe
.
La branche de
qui a pour pente
au point
« descend » du point
au point
car
augmente et
, donc
diminue.
Puis
augmente car il n'y a pas de point en dessous de
et
, donc
augmente. Donc la courbe « monte » jusqu'au point
.
Ensuite,
diminue car il n'y a pas de point à droite de
, et
, donc
augmente. Donc la courbe « monte » jusqu'au point
.
Ensuite,
diminue car il n'y a pas de point au dessus de
, et
, donc
diminue. Donc la courbe « descend » jusqu'au point
qu'elle atteint avec une pente de
.
Le reste de la courbe est obtenu par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
On peut préciser la position de la courbe par rapport à ses tangentes en
.
En effet, l'équation de
peut s'écrire :
.
Donc
est du signe de
.
Il dépend donc de la position de la courbe par rapport à la parabole d'équation
.
Au voisinage du point
:
si
et
:
et
, donc
.si
et
:
et
, donc
.si
et
:
et
, donc
.si
et
:
et
, donc
.
Conclusion : La courbe
est au dessus de ses tangentes au point
.
On peut remarquer que cela implique l'existence de deux points d'inflexion
et
symétriques par rapport à l'axe des ordonnées et situés dans le demi-plan
.
