Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère le plan affine euclidien
de repère orthonormé
.
Soit
la courbe d'équation :
.
Question
Déterminer une représentation polaire de la courbe
.
Posez :
et
.
On remarque que si
, alors
, et que si
, alors
.
Donc pour tout point
distinct de
, on a :
et
.
Donc la courbe
passe par le point
et ne coupe l'axe des ordonnées et la première bissectrice qu'en ce point.
Pour tout point
distinct de
, on pose :
et
.
L'équation devient :
.
Donc
ou
. Or
car
.
Et
, puisque le point
n'appartient pas à la première bissectrice.
Donc un point
appartient à
si et seulement si
ou
.
On retrouve le point
si
, donc si
.
Conclusion : La courbe
est la courbe de représentation polaire :
.
Question
Déterminer une représentation paramétrique cartésienne de la courbe
.
Posez :
.
Pour tout point
distinct de
, on a
, donc on pose :
.
Alors
puisque
n'est pas sur la première bissectrice.
L'équation devient :
, donc :
, et :
.
Donc un point
appartient à
si et seulement si
ou
.
Pour
, on retrouve le point
.
Conclusion : La courbe
est la courbe de représentation paramétrique :
.
Question
Construire la courbe
.
Choisissez l'un des deux paramétrages pour construire la courbe.
Le paramétrage cartésien semble plus simple pour l'étude de la courbe
.
La courbe admet des branches infinies lorsque
tend vers
ou vers l'infini.
Or :
. Donc lorsque
tend vers l'infini, il y a une branche parabolique de direction
.
et
.
Donc lorsque
tend vers
, il y a une asymptote oblique d'équation
.
La courbe est au dessus quand
tend vers
et en dessous quand
tend vers
.
Et :
Si l'on pose
Donc
Donc :
|  |
On en déduit la courbe.
