Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère le plan affine euclidien
de repère orthonormé
.
Soit
la courbe d'équation :
.
Question
Montrer qu'au voisinage du point
, il existe une fonction
telle que
.
Utilisez le théorème des fonctions implicites.
Soit
la fonction définie par :
.
La courbe passe par le point
car
.
La fonction
est de classe
sur
.
Ses dérivées partielles sont :
, et :
.
Donc :
.
Donc d'après le théorème des fonctions implicites, au voisinage de
, l'équation définit implicitement
en fonction de
.
Conclusion : Au voisinage du point
, il existe une fonction
telle que
.
Question
Former un développement limité d'ordre
de la fonction
au voisinage de
.
Donnez la forme du développement limité avec des coefficients indéterminés et utilisez :
.
La fonction
est de classe
au voisinage de
, donc admet un développement limité d'ordre
en
.
On sait que :
, et :
d'après le théorème des fonctions implicites.
Donc le développement limité est de la forme :
.
Or :
, donc :
.
Au voisinage de
:
.
Donc :
.
Donc :
.
Et :
.
Or il y a unicité des coefficients du développement limité.
Donc :
, et :
. Donc :
et
.
Conclusion :
au voisinage de
.
Question
En déduire l'allure de la courbe
au voisinage du point
.
Utilisez le développement limité.
On a trouvé :
Donc la tangente en
Le deuxième terme non nul est le terme en
Conclusion : Le point
Au voisinage de
Donc au voisinage de
On en déduit la position de la courbe par rapport à la tangente. |  |
