Etude d'une courbe plane définie sous forme implicite
On suppose que le plan affine euclidien
est rapporté à un repère orthonormal
.
Définition :
Une courbe implicite du plan est définie par la donnée d'un ouvert
non vide de
et d'une fonction
de classe
de
dans
avec
.
La courbe
est l'ensemble des points
du plan tels que
.
Exemple : Dans le plan affine euclidien
de repère orthonormé
, on considère la courbe
d'équation :
.
Méthode :
La première idée pour construire la courbe définie sous forme implicite peut être :
de se ramener à l'étude d'une fonction.
de paramétrer la courbe sous forme cartésienne.
de paramétrer la courbe sous forme polaire.
Méthode :
On peut aussi l'étudier directement sous forme implicite.
Ce qui suit est l'étude de l'exemple précédent sous forme implicite.
Fondamental :
Recherche des symétries
Si
pour tout point
de
, alors la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.Si
pour tout point
de
, alors la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.Si
pour tout point
de
, alors la courbe est symétrique par rapport au point
.Si
pour tout point
de
, alors la courbe est symétrique par rapport à la première bissectrice d'équation
.
Dans l'exemple précédent, on a :
. Donc :
pour tout couple
de
.
Donc la courbe
est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
Méthode :
Localiser la courbe, c'est-à-dire rechercher les parties du plan ne contenant pas de points de la courbe permettra de simplifier les études suivantes.
Dans l'exemple précédent, l'équation s'écrit :
, donc :
, donc :
.
De plus, aucun couple de la forme
n'est solution de l'équation.
Donc la courbe
est incluse dans la partie de plan :
.
Définition :
Un point
de
est régulier si
.
Sinon le point
de
est stationnaire.
Dans l'exemple précédent, la fonction
est polynômiale, donc de classe
sur
.
Ses dérivées partielles sont :
et
.
Donc :
si et seulement si
.
Et :
si et seulement si
ou
.
Or il n'y a aucun point de
tel que
. Et si
, alors
.
Donc la courbe
admet un unique point stationnaire, le point
. Tous les autres points sont réguliers.
Fondamental :
Etude en un point régulier
Si le point
est régulier, la courbe admet en
une tangente orthogonale à
.
L'équation de la tangente est donc :
.
Donc la tangente est horizontale si et seulement si
.
Et la tangente est verticale si et seulement si :
.
Dans l'exemple précédent, pour tout point
de
:
et
.
Donc il n'y a ni point à tangente horizontale, ni point à tangente verticale.
La tangente en
a pour coefficient directeur :
.
Or pour tout point
de la courbe, on a :
.
Donc le coefficient directeur de la tangente en
est du signe de
.
La courbe « monte » quand
et « descend » quand
.
Fondamental :
Théorème des fonctions implicites
Soit
un point régulier de
.
Si
, il existe deux intervalles ouverts
et
centrés en
et
tels que
, et une fonction
de classe
de
dans
telle que :
. Alors :
.Si
, il existe deux intervalles ouverts
et
centrés en
et
tels que
, et une fonction
de classe
de
dans
telle que :
. Alors :
.
Si
est un point régulier de
, on peut exprimer localement
en fonction de
, ou
en fonction de
.
Si
, la tangente à
en
a pour coefficient directeur
.
Et si
, la tangente à
en
a pour coefficient directeur
.
Méthode :
Etude en un point stationnaire
Pour obtenir la tangente, il faut étudier la limite de
lorsque le point
tend sur la courbe vers le point
.
Il faut donc que
tende vers
et que
tende vers
avec
.
Dans l'exemple précédent, il s'agit d'étudier l'existence d'une tangente au point
.
Pour tout
, on pose
, donc :
. Donc l'équation peut s'écrire :
car
.
Donc si
tend vers
, alors
tend vers
.
Donc la tangente au point
à la courbe
est horizontale.
Méthode :
Etude des branches infinies
En s'aidant de la localisation de la courbe, on peut voir si
ou
peuvent tendre vers l'infini.Suivant les cas, on étudie l'intersection de la courbe avec des droites horizontales ou verticales ou d'équation
.
Dans l'exemple précédent, on a vu que la courbe
est incluse dans la partie de plan :
.
Donc, sur la courbe,
ne peut pas tendre vers l'infini. Donc il ne peut y avoir une branche infinie que si
tend vers l'infini.
Donc cela ne peut correspondre qu'à une asymptote verticale.
On étudie l'intersection de
L'ordonnée des points d'intersection vérifient :
Il y a donc deux points d'intersection et
Donc la courbe admet une asymptote verticale d'équation
On en déduit l'allure de la courbe. |  |
