Exo 15
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les points critiques de la fonction
.
Les points critiques annulent les dérivées partielles de
.
La fonction
est polynômiale, donc de classe
sur l'ouvert
.
Ses dérivées partielles d'ordre
sont :
.
.
.
Les points critiques de
sont solutions de :
.
On obtient le système :
, donc :
.
Conclusion : La fonction
admet cinq points critiques
,
,
,
et
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les extremums locaux de la fonction
.
Pour chaque point critique
, étudiez pour tout
le signe de la forme quadratique :
.
Les extremums locaux de la fonction f sont à chercher parmi les points critiques.
Les dérivées partielles d'ordre
de
sont :
.
.
.
.
Donc au point
, on étudie le signe de la forme quadratique :
.
Au point
:
si
.
Donc la fonction
admet un minimum local en
.
Ce minimum n'est pas global car :
, et :
.
Au point
:
.
Donc :
et
.
Donc la fonction
n'admet pas d'extremum local en
.
Au point
:
.
Donc :
et
.
Donc la fonction
n'admet pas d'extremum local en
.
Par symétrie entre les trois variables, on n'a pas non plus d'extremum local aux points
et
.
Conclusion : La fonction
admet un seul extremum local au point
. C'est un minimum local qui n'est pas global.
