Extremums d'une fonction numérique
Soit
un espace vectoriel normé de base orthonormale
.
Les fonctions utilisées sont définies sur un ouvert
non vide de
à valeurs dans
.
Définition :
Si
est de classe
sur l'ouvert
, le gradient de
en un point
est le vecteur de coordonnées :
.
Il est noté
ou
.
Par exemple, si
, alors :
, et :
.
Donc :
. Donc par exemple :
.
Fondamental :
Propriétés
si la base
est orthonormale.
.
si
.
La première propriété se traduit par :
déjà vu précédemment.
Définition :
Extremum
-
admet un maximum local en
si :
.C'est un maximum global si :
.
-
admet un minimum local en
si :
.C'est un minimum global si :
.
Fondamental :
Condition nécessaire d'extremum local
Si la fonction
de classe
sur un ouvert
admet un extremum local en
, alors
est un point critique :
.
Donc les extremums de
sont à chercher parmi les points qui vérifient :
.
Dans l'exemple précédent, les points critiques sont solutions du système :
.
Or :
si et seulement si :
ou
.
Et :
si et seulement si :
ou
.
Sur l'ouvert
, on obtient trois points critiques :
,
et
.
Définition :
Cas d'une fonction de 2 variables
Si la fonction
est de classe
sur un ouvert
non vide de
, on note usuellement :
ses dérivées partielles d'ordre
:
et
ses dérivées partielles d'ordre
:
,
et
.
Ces notations s'appellent les notations de Monge.
Dans l'exemple précédent, les dérivées partielles d'ordre
sont :
.
.
.
Fondamental :
Développement limité d'ordre 2
Si
est de classe
sur un ouvert
non vide de
et si
, alors
admet un développement limité d'ordre
.
Il existe un réel
tel que pour tout
:
.
Donc si
est un point critique :
.
Fondamental :
Existence d'un extremum local en un point critique
Si
est de classe
sur un ouvert
non vide de
et si
est un point critique (
) :
Si
: la fonction
n'admet pas d'extremum en
: c'est un point col (ou point selle).Si
et
: la fonction
admet un minimum local en
.Si
et
: la fonction
admet un maximum local en
.Si
, on ne peut pas conclure.
Dans l'exemple précédent :
au point
, on a :
et
, donc :
et
.Donc la fonction
admet un maximum local au point
.au point
, on a :
et
, donc :
et
.Donc la fonction
admet un minimum local au point
.au point
, on a :
, donc :
. On ne peut pas conclure par cette méthode.On a :
et pour tout
:
est du signe contraire de
.Donc
ne garde pas un signe constant au voisinage de
.Donc la fonction
n'admet ni maximum local, ni minimum local au point
: c'est un point col.
Méthode :
Existence d'un extremum global
Un extremum global est à chercher parmi les extrema locaux en étudiant le signe de
.
Rappel : Si
est continue sur un compact, elle est bornée, donc admet un maximum global et un minimum global.
Fondamental :
Cas d'une fonction de n variables
Si la fonction
est de classe
sur un ouvert
de
et si
, alors il existe
tel que pour tout
:
avec
.
Si la fonction
est de classe
sur un ouvert
de
, alors pour tout point critique
:
Si
est strictement négatif pour tout
, alors
admet un maximum local en
.Si
est strictement positif pour tout
, alors
admet un minimum local en
.S'il existe des vecteurs
et
tels que
et
, alors
n'admet pas d'extremum en
.
