Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les points critiques de la fonction
.
Les points critiques annulent les dérivées partielles de
.
La fonction
est polynômiale, donc de classe
sur l'ouvert
.
Ses dérivées partielles d'ordre
sont :
.
.
Les points critiques de
sont solutions de :
.
On obtient le système :
, donc :
.
Donc :
ou
ou
ou
.
Conclusion : La fonction
admet quatre points critiques
,
,
et
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les extremums locaux de la fonction
.
Pour chaque point critique, calculez
(notations de Monge).
Les extremums locaux de la fonction
sont à chercher parmi les points critiques.
Les dérivées partielles d'ordre
de
sont :
.
.
.
Au point
, on a :
, donc :
, donc il n'y a pas d'extremum local.
Au point
, on a :
, donc :
, donc il n'y a pas d'extremum local.
Au point
, on a :
, donc :
, donc il n'y a pas d'extremum local.
Au point
, on a :
et
, donc
.
Conclusion : La fonction
admet un minimum local au point
.
Les points
,
et
sont des points cols.
Question
Déterminer, s'ils existent, les extremums globaux de la fonction
.
Comparez la valeur de l'extremum avec d'autres valeurs prises par la fonction.
Les extremums globaux de la fonction
sont des extremums locaux.
Donc, seul le point
peut correspondre à un extremum global.
Or :
et par exemple :
, donc :
.
Conclusion : Le minimum local en
n'est pas un minimum absolu.
