Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les points critiques de la fonction
.
Les points critiques annulent les dérivées partielles de
.
La fonction
est polynômiale, donc de classe
sur l'ouvert
.
Ses dérivées partielles d'ordre
sont :
.
.
Les points critiques de
sont solutions de :
.
On obtient le système :
, donc :
, donc :
.
Conclusion : La fonction
admet
points critiques
,
et
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les extremums locaux de la fonction
.
Pour chaque point critique, calculez
(notations de Monge).
Les extremums locaux de la fonction
sont à chercher parmi les points critiques.
Les dérivées partielles d'ordre
de
sont :
.
.
.
Donc :
.
Aux points
et
, on a :
et
.
Donc ces deux points correspondent à des minimums locaux de
.
Au point
:
, donc on ne peut pas conclure par cette méthode.
Or :
et :
et
.
Donc au voisinage de
:
et
.
Donc le point
n'est pas un extremum de
: c'est un point col.
Conclusion : La fonction
admet deux minimums locaux en
et
.
Question
Déterminer, s'ils existent, les extremums globaux de la fonction
.
Si
admet un extremum local en
, étudiez si le signe de
est constant.
On peut remarquer que :
.
Donc il suffit d'étudier l'un des points, par exemple
.
Pour voir si ce minimum est absolu, on étudie le signe de
.
On pose :
et
dans l'expression
.
On obtient :
.
Donc :
.
Donc :
et
.
Conclusion : La fonction
admet deux minimums globaux en
et
.
