Exo 15
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'équation différentielle :
.
Question
Résoudre l'équation
en se ramenant à un système différentiel du premier ordre.
Posez
pour vous ramener à une équation
.
Triangulez la matrice
pour calculer la matrice
.
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre
à coefficients constants et homogène.
On se ramène à une équation du premier ordre en introduisant la matrice :
.
L'équation équivaut à :
.
On obtient une équation linéaire homogène du premier ordre :
.
L'ensemble des solutions est donc un espace vectoriel de dimension
.
Et les solutions sont les fonctions :
où
et
.
Le problème se ramène donc au calcul de la matrice
.
Le polynôme caractéristique de
est :
.
La matrice
n'a donc que deux valeurs propres :
et
.
Le sous-espace propre associé à
est la droite vectorielle de base :
.
Le sous-espace propre associé à
est la droite vectorielle de base :
.
Donc la matrice
n'est pas diagonalisable. On cherche donc à la trianguler.
Si
, alors :
.
Donc si :
, alors :
.
Les vecteurs
,
et
forment une base
de
.
La matrice de passage de la base canonique à la base
est :
.
Son inverse est :
et :
.
Donc :
, donc :
.
Il s'agit donc de calculer les puissances de la matrice
. On peut :
soit procéder par une simple récurrence en étudiant les premiers termes,
soit utiliser la formule du binôme en la décomposant sous la forme :
avec
et
.
On obtient :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Les solutions de l'équation
sont les fonctions :
où
.
Donc les fonctions
,
et
forment un système fondamental de solutions de l'équation
. Or :
.
Donc les fonctions
,
et
forment un système fondamental de solutions de l'équation
.
Les solutions de l'équation
sont les fonctions
où
.
En particulier, on obtient :
si
,
si
et
si
.
Donc les fonctions
,
et
forment un système générateur de l'espace vectoriel des solutions de l'équation
, donc un autre système fondamental de solutions de l'équation
car l'espace est de dimension
.
Conclusion : Les solutions de l'équation
sont les fonctions
où
.
Remarque :
On retrouve ainsi les résultats des équations linéaires scalaires homogènes d'ordre
à coefficients constants.
En effet, l'équation caractéristique :
admet une racine simple
et une racine double
.
Donc les fonctions
,
et
sont solutions de l'équation
.
Si :
, alors
, donc :
.
Donc :
, donc elles forment une famille libre de l'ensemble des solutions qui est un espace vectoriel de dimension
.
Donc ces trois fonctions forment un système fondamental de solutions.
