Autres équations différentielles linéaires
Définition :
Une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre p est une équation de la forme :
où
, ...,
et
sont des fonctions continues sur
à valeurs dans
ou
.
On peut remarquer que l'équation équivaut à :
.
Donc, si l'on pose :
, on obtient une équation de la forme :
où
est une application linéaire de
dans
et
. On se ramène ainsi à une équation différentielle du premier ordre.
Plus généralement, dans la suite, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle
de
et à valeurs dans un espace vectoriel normé
de dimension finie
.
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation
de la forme :
, où
est une fonction continue de
dans
, et
une fonction continue de
dans
.
L'équation homogène associée
est l'équation :
.
Une fonction
de
dans
est solution de
si
est dérivable sur
et si :
.
Dans l'équation
, la notation
signifie
.
Et
appartient à
puisque
appartient à
et que
est une application linéaire de
dans
.
Fondamental :
Propriétés
Soit
l'équation différentielle
,
l'équation homogène associée, et soit
.
Toute solution de l'équation différentielle
est de classe
sur
.Théorème de Cauchy-Lipschitz : Il existe une unique solution
de l'équation
qui vérifie la condition initiale
.L'ensemble
des solutions de
est un sous-espace vectoriel de
isomorphe à
.Si
est une solution particulière de
, une fonction
est solution de
si et seulement si
est solution de
.
Pour tout
de
, l'application
est un isomorphisme entre
et
. Donc :
.
Définition :
Un système fondamental de solutions de
est constitué de
solutions de
linéairement indépendantes.
Soit
une base de
. Pour tout
de
, on note
la matrice de l'application linéaire
dans cette base et
celle de
.
A toute fonction
dérivable sur
, on associe ses fonctions coordonnées
, ...,
, et leurs dérivées.
L'équation différentielle peut donc s'écrire sous forme matricielle :
où
.
Elle peut aussi se traduire par le système différentiel :
.
Réciproquement, tout système différentiel de cette forme peut s'écrire sous la forme :
.
Fondamental :
Soit
est une famille de
éléments de
. Pour tout
, on note :
si
.
On appelle wronskien de
le déterminant :
.
La famille
est un système fondamental de solutions de
si et seulement si il existe
tel que
.
Si
est un système fondamental de solutions de
, alors
pour tout
.
Fondamental :
Cas où les coefficients sont constants
L'équation
est à coefficients constants si l'application
est constante : son image (notée
) est un endomorphisme de
.
Les solutions de l'équation différentielle homogène
sont les fonctions
où
.
Si l'endomorphisme
est diagonalisable et si
, ...,
forment une base de vecteurs propres associés aux valeurs propres
, ...,
, alors les
fonctions définies par
forment un système fondamental de solutions de
.
Rappel :
est un endomorphisme de
.
Si
est un vecteur propre associé à la valeur propre
, alors :
.
Méthode :
Méthode de variation de constante
Soit
un système fondamental de solutions de
.
Si
, ...,
sont des fonctions de classe
sur
, la fonction définie par :
est solution de l'équation
si et seulement si :
.
Cette égalité aboutit à un système de Cramer qui permet de déterminer les dérivées
, puis les fonctions
.
Fondamental :
Cas d'une équation linéaire scalaire homogène d'ordre p à coefficients constants :
.
On lui associe son équation caractéristique :
.
L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension
.La fonction
est solution de
si et seulement si
est racine de l'équation caractéristique.Si
est racine d'ordre
de l'équation caractéristique, toutes les fonctions
avec
sont solutions de
.
