Exo 16
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Montrer que la fonction
est développable en série de Fourier.
.
La fonction
est continue sur
et
- périodique.
Conclusion : La fonction
est développable en série de Fourier.
Question
Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction
.
Utilisez le développement en série entière de l'exponentielle.
On peut remarquer que :
, donc :
.
Or :
, terme général d'une série convergente :
.
Donc la série
converge normalement sur
et sa somme est
.
Par définition :
.
Donc :
.
Or :
si
et :
si
.
Conclusion :
et :
.
L'expression
est donc le développement en série de Fourier de
.
