Séries entières et séries de Fourier

Exo 14

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la fonction définie par : .

Question

Montrer que la fonction est développable en série de Fourier.

Solution

La fonction est continue sur et périodique de période .

Conclusion : La fonction est développable en série de Fourier.

Question

Déterminer le développement en série de Fourier de .

Indice

Utilisez les formules de trigonométrie pour calculer les coefficients trigonométriques.

Solution

La fonction est paire. Donc : .

.

.

Et : .

Donc : .

Donc : .

Donc : .

Donc : et .

Conclusion : .

Question

En déduire les sommes : , et : .

Indice

Utilisez deux valeurs particulières de .

Solution

On a donc : .

Pour , on obtient : .

Pour , on obtient : .

Conclusion : , et .

Question

Calculer la somme : .

Indice

Utilisez la formule de Parseval.

Solution

On utilise la formule de Parseval et la parité de .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : .

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