Exo 15
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies sur
par :
.
Question
Question
Question
Déterminer la limite de
en
et préciser un équivalent.
Encadrez la fonction à l'aide d'une intégrale.
Pour tout
, la fonction
est croissante sur
.
Donc :
, donc :
.
Donc :
, donc :
.
L'intégrale de Riemann
est convergente car
.
Donc, en faisant tendre
vers l'infini :
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
. Et :
.
Conclusion :
et
au voisinage de
.
Question
Démontrer que la fonction
est de classe
sur son ensemble de définition et calculer ses dérivées successives.
Démontrez que toutes les séries
convergent uniformément sur tout segment de
.
Les fonctions
:
sont de classe
sur
.
Les dérivées successives sont :
.
Soit
. Pour tout entier
:
.
Or :
. Et :
car
.
Donc :
. Or la série
est convergente car
.
Donc, pour tout entier
, la série
converge normalement sur
.
Donc toutes les séries
convergent uniformément sur tout segment de
.
Conclusion : La fonction
est de classe
sur
et
.