Suites et séries de fonctions

Exo 15

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la suite de fonctions définies sur par : .

Question

Déterminer l'ensemble de définition de la fonctions définie par : .

Indice

Etudiez la convergence de la série.

Solution

La série de Riemann converge si et seulement si .

Conclusion : L'ensemble de définition de la fonction est .

Question

Déterminer la limite de en .

Indice

Démontrez que la convergence est uniforme sur .

Solution

La fonction décroît sur . Donc : .

Donc, sur : . Or la série de Riemann converge.

Donc la convergence de la série est normale, donc uniforme sur .

Donc : .

Or : si et .

Conclusion : .

Question

Déterminer la limite de en et préciser un équivalent.

Indice

Encadrez la fonction à l'aide d'une intégrale.

Solution

Pour tout , la fonction est croissante sur .

Donc : , donc : .

Donc : , donc : .

L'intégrale de Riemann est convergente car .

Donc, en faisant tendre vers l'infini : .

Donc : . Or : .

Donc : . Et : .

Conclusion : et au voisinage de .

Question

Démontrer que la fonction est de classe sur son ensemble de définition et calculer ses dérivées successives.

Indice

Démontrez que toutes les séries convergent uniformément sur tout segment de .

Solution

Les fonctions : sont de classe sur .

Les dérivées successives sont : .

Soit . Pour tout entier : .

Or : . Et : car .

Donc : . Or la série est convergente car .

Donc, pour tout entier , la série converge normalement sur .

Donc toutes les séries convergent uniformément sur tout segment de .

Conclusion : La fonction est de classe sur et .

Question

En déduire l'allure de la courbe représentative de .

Indice

Dressez le tableau de variations de la fonction.

Solution

En particulier : , donc : .

On obtient le tableau de variations suivant :

La fonction est convexe car : , donc : .

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