Propriétés
Les fonctions sont définies sur un intervalle
de
à valeurs réelles ou complexes.
Les propriétés sont conséquences des propriétés de la convergence uniforme des suites.
Fondamental :
Limite
Soit
une série de fonctions définies sur
à valeurs réelles ou complexes qui converge uniformément sur
.
Si les fonctions
admettent en
une limite finie
, alors :
la série
est convergente,la somme de la série
admet en
la limite :
.
Donc, sous ces hypothèses :
.
Fondamental :
Continuité
Soit
une série de fonctions qui converge uniformément sur
.
Si les fonctions
sont continues sur
, alors la somme de la série
est continue sur
.
Le théorème reste vrai si la convergence est uniforme sur tout segment de
.
Fondamental :
Intégration
Soit
une série de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment
.
Alors la série numérique
est convergente et :
.
Comme pour les suites, il faut une hypothèse de domination pour les intégrales impropres.
Fondamental :
Théorème de convergence dominée
Soit
une série de fonctions continues par morceaux sur
qui converge simplement sur
, dont la somme
est continue par morceaux sur
.
On suppose qu'il existe une fonction
continue par morceaux et intégrable sur
telle que :
.
Alors les fonctions
et
sont intégrables sur
et :
.
Donc sous ces hypothèses :
.
Fondamental :
Dérivation
Soit
une série de fonctions de classe
qui converge simplement sur
.
Si la série
converge uniformément sur tout segment de
, alors :
la série
converge uniformément sur tout segment
, la somme
est de classe
sur
,sa dérivée est la somme de la série des dérivées :
.
Comme pour les suites, on peut étendre aux dérivées d'ordres supérieurs.
Fondamental :
Soit
une série de fonctions de classe
sur
à valeurs réelles ou complexes qui converge simplement sur
.
Si les séries
, ...,
convergent simplement sur
et si la série
converge uniformément sur tout segment
, alors :
la série
converge uniformément vers
sur tout segment
,la somme
est de classe
sur
,
.
