Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Question
Montrer que la suite
est bornée.
Utilisez les nombres complexes pour calculer
.
car
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Or :
.
Donc la fonction
est une fonction positive, continue sur
et qui ne s'annule pas sur
.
Elle admet donc un minimum
. Et :
.
Conclusion : La suite de fonctions
est bornée.
Question
Question
En déduire que la série
converge siumplement sur
.
La suite
est bornée, donc :
.
Et :
, donc la série
est normalement convergente.
Donc, pour tout
, la suite
admet une limite finie.
Conclusion : La série
converge siumplement sur
.
Remarque :
La convergence sur
était plus facile car
.
Le problème était en
et en
.
Question
Montrer que la somme
de la série
est continue sur
.
Etudiez la continuité de la somme de la série
.
et
.
Donc :
.
Or la série
est normalement, donc uniformément convergente.
Et les fonctions
sont continues sur
.
Donc la somme de la série
est continue sur
.
Conclusion : La somme
de la série
est continue sur
.
Question
Montrer que la somme
de la série
est de classe
sur
.
Utilisez le théorème de dérivation.
Les fonctions
sont de classe
sur
.
Et :
, donc :
.
Donc, pour tout segment
:
.
Donc la série
est normalement convergente, donc uniformément convergente sur tout segment contenu dans
.
Conclusion : La somme
de la série est de classe
sur
et
.