Suites et séries de fonctions

Exo 14

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la suite de fonctions définies par : .

Soit la suite de fonctions définies par : .

Question

Montrer que la suite est bornée.

Indice

Utilisez les nombres complexes pour calculer .

Solution

car .

Donc : .

Donc : .

Donc : .

Donc : .

Or : .

Donc la fonction est une fonction positive, continue sur et qui ne s'annule pas sur .

Elle admet donc un minimum . Et : .

Conclusion : La suite de fonctions est bornée.

Question

Démontrer que : pour tout entier .

Indice

Exprimez à l'aide de la suite .

Solution

pour tout entier .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire que la série converge siumplement sur .

Solution

La suite est bornée, donc : .

Et : , donc la série est normalement convergente.

Donc, pour tout , la suite admet une limite finie.

Conclusion : La série converge siumplement sur .

Remarque

La convergence sur était plus facile car .

Le problème était en et en .

Question

Montrer que la somme de la série est continue sur .

Indice

Etudiez la continuité de la somme de la série .

Solution

et .

Donc : .

Or la série est normalement, donc uniformément convergente.

Et les fonctions sont continues sur .

Donc la somme de la série est continue sur .

Conclusion : La somme de la série est continue sur .

Question

Montrer que la somme de la série est de classe sur .

Indice

Utilisez le théorème de dérivation.

Solution

Les fonctions sont de classe sur .

Et : , donc : .

Donc, pour tout segment : .

Donc la série est normalement convergente, donc uniformément convergente sur tout segment contenu dans .

Conclusion : La somme de la série est de classe sur et .

Question

Pour tout , calculer et en déduire .

Indice

Utilisez les complexes.

Solution

Donc : .

Donc : .

.

Conclusion : .

.

Donc : .

Or, si l'on pose : , alors : .

Donc : , donc : (constante).

Or : . Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire la valeur de et de .

Indice

Utilisez la continuité de .

Solution

La fonction est continue sur , donc en et en .

Donc : et : .

Or : .

Et : .

Or : , donc : et : .

Donc : et .

Conclusion : et .

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