Suites et séries de fonctions

Exo 7

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit la suite de fonctions définies par : .

Question

Montrer que la suite converge simplement sur vers une fonction .

Indice

Déterminez un équivalent de .

Solution

, donc pour tout , on a : , donc : .

De plus : . Donc : .

Conclusion : La suite converge simplement sur vers la fonction nulle.

Question

Pour tout entier , calculer : .

Solution

.

Conclusion : .

Question

La convergence de la suite sur est-elle uniforme ?

Indice

Utilisez le théorème sur l'intégration.

Solution

.

Donc : .

Or les fonctions sont continues sur .

Donc, si la convergence était uniforme, on aurait : .

Conclusion : La convergence de la suite sur n'est pas uniforme.

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