Suites et séries de fonctions

Cours

Propriétés de la convergence uniforme

Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de à valeurs réelles ou complexes.

Fondamental :

Opérations algébriques

Soit et deux suites de fonctions qui convergent uniformément sur vers des fonctions et .

La suite de fonctions converge uniformément sur vers .
Si est un complexe, la suite de fonctions converge uniformément sur vers .
Si les fonctions et sont bornées sur , la suite converge uniformément sur vers .

Fondamental :

Composition

Si est une suite de fonctions qui converge uniformément sur vers une fonction et si est une fonction définie sur un intervalle de à valeurs dans , alors la suite de fonctions converge uniformément sur vers la fonction .
Si est une suite de fonctions à valeurs réelles qui converge uniformément sur vers une fonction et si est une fonction uniformément continue sur , alors la suite de fonctions converge uniformément sur vers la fonction .

Fondamental :

Bornes

Soit une suite de fonctions définies sur à valeurs réelles ou complexes qui converge uniformément sur vers une fonction .

Si est une suite de fonctions bornées, alors la fonction est bornée.

Fondamental :

Limite

Soit une suite de fonctions définies sur à valeurs réelles ou complexes qui converge uniformément sur vers une fonction .

Si les fonctions admettent en une limite finie , alors la suite est convergente et la fonction admet en la limite : .

Donc, sous ces hypothèses, on peut intervertir les limites : .

Fondamental :

Continuité

Soit une suite de fonctions définies sur à valeurs réelles ou complexes qui converge uniformément sur vers une fonction .

Si est une suite de fonctions continues sur , alors la fonction est continue sur .

Le théorème reste vrai même avec une convergence uniforme locale.

Fondamental :

Intégration

Soit une suite de fonctions définies sur à valeurs réelles ou complexes qui converge uniformément sur vers une fonction .

Si est une suite de fonctions continues sur , alors la fonction est continue sur et : .

Donc, sous ces hypothèses, on peut intervertir la limite et l'intégrale : .

Pour les intégrales impropres, il faut en plus une hypothèse de domination.

Fondamental :

Théorème de convergence dominée :

Soit une suite de fonctions continues par morceaux sur à valeurs réelles ou complexes qui converge simplement sur vers une fonction continue par morceaux sur .

S'il existe une fonction continue par morceaux et intégrable sur telle que pour tout , alors les fonctions et sont intégrables sur et : .