Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Question
Etudier la convergence de la suite
.
Commencez par étudier la convergence simple.
Pour la convergence uniforme, utilisez la continuité.
La suite vérifie :
et
, donc :
.
Conclusion : La suite
converge simplement sur
vers la fonction
définie par
et
.
Les fonctions
sont continues sur
, donc si la convergence était uniforme, la fonction
serait continue sur
, ce qui n'est pas vrai.
Conclusion : La convergence n'est pas uniforme sur
.
Le problème de la continuité de
se posant en
, étudions la convergence sur
où
est continue.
Cependant, on remarque que :
, donc :
.
Donc il existe une suite
de
telle que :
.
Conclusion : Même sur
où
est continue, la convergence n'est pas uniforme.
On peut remarquer que les fonctions
sont décroissantes sur
et positives.
Donc, sur tout
:
, donc :
.
Donc la convergence est uniforme sur tout segment contenu dans
.
Conclusion : Sur
, il y a convergence uniforme locale.
