Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Question
Montrer que la suite
converge simplement sur
vers une fonction
.
La convergence est-elle uniforme ?
Pour la convergence uniforme, utilisez une majoration de :
.
Lorsque
tend vers
:
si
, donc :
.
Et :
. Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La suite
converge simplement sur
vers la fonction
:
.
.
Donc :
. Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La suite
converge uniformément sur
vers la fonction
:
.
Question
Montrer que la suite
converge simplement sur
vers une fonction
.
La convergence est-elle uniforme ?
Pour la convergence uniforme, utilisez le théorème sur la dérivation.
Les fonctions
sont dérivables sur
et :
.
Donc :
et :
.
Conclusion : La suite
converge simplement vers la fonction
définie par
si
et
.
Les fonctions
sont toutes de classe
sur
et la suite
converge vers
.
Donc si la suite
convergeait uniformément sur
, alors
serait de classe
, et sa dérivée serait :
.
Or la fonction
n'est pas dérivable en
.
Conclusion : La suite
ne converge pas uniformément sur
.
Comme le problème se pose en
, on peut se poser la même question sur
.
La fonction
est dérivable sur
et :
.
Mais par exemple :
. Donc :
.
Donc, même sur
, la convergence de la suite
n'est pas uniforme.
