Exo 20
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que l'ensemble des matrices orthogonales de
est un compact de
.
Démontrez qu'il s'agit d'une partie fermée et bornée de
.
L'espace vectoriel normé
est de dimension finie.
Donc toutes les normes sont équivalentes. Prenons la norme :
.
Il suffit de montrer que l'ensemble
des matrices orthogonales de
est une partie fermée et bornée pour cette norme.
Toute matrice
orthogonale vérifie :
. Donc :
.Donc
est une partie bornée de
.Soit
une suite convergente d'éléments de
et soit
sa limite. Donc :
. Or la norme d'une matrice carrée est égale à la norme de sa transposée car :
.Donc :
. Donc :
et
.Or :
. Donc :
, et donc :
.Donc
est une partie fermée de
.
Conclusion : L'ensemble des matrices orthogonales de
est un compact de
.
