Exo 18
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux parties non vides d'un espace vectoriel normé
.
On note :
.
Question
Montrer que si
et
sont des compacts, alors
est un compact.
Pour toute suite de
, construisez une suite extraite qui converge dans
.
Soit
une suite d'éléments de
.
Donc il existe une suite
de
et une suite
de
telles que :
.
Or
est un compact. Donc il existe une suite extraite
qui converge vers une limite
.
On a :
. Et la suite
est une suite d'éléments de
.
Or
est un compact. Donc il existe une suite extraite
qui converge vers une limite
.
La suite
est extraite de la suite
, donc elle converge aussi vers
.
On a :
. Donc la suite
converge vers
.
Donc il existe une suite extraite de la suite
qui converge dans
.
Conclusion : Si
et
sont des compacts, alors
est un compact.
