Exo 19
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que le seul sous-espace vectoriel compact d'un espace vectoriel normé
est
.
Raisonnez par l'absurde.
Toute suite de
converge évidemment dans
car tous ses termes sont égaux à
.
Donc il est évident que
est un sous-espace vectoriel compact de
.
Réciproquement, supposons qu'il existe un sous-espace vectoriel compact
.
Donc
est une partie fermée et bornée de
:
.
Or :
. Donc il existe
tel que :
.
De plus,
est un sous-espace vectoriel, donc :
.
Donc :
, donc :
.
On aboutit à une absurdité puisque l'ensemble
n'est pas borné.
Donc il n'existe pas de sous-espace vectoriel compact
.
Conclusion : Le seul sous-espace vectoriel compact d'un espace vectoriel normé
est
.
