Exo 17
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
et
deux espaces vectoriels normés et
une application de
dans
.
Question
Montrer qu'il y a équivalence entre les propositions suivantes :
L'application
est continue sur
.
.
.
.
Démontrez :
.
Montrons que 1 implique 2. On suppose que
est continue.Soit
et
. Donc il existe
tel que :
.
, donc il existe une suite
d'éléments de
telle que :
.Or
est continue sur
. Donc :
.Donc
est limite d'une suite d'éléments de
. Donc :
.Donc, si
est continue, alors :
.
Montrons que 2 implique 3. On suppose que :
, donc :
.Soit
. On applique la propriété à
qui est inclus dans
. Alors :
. Donc :
.Montrons que 3 implique 4. On suppose que :
.Soit
. On applique la propriété au complémentaire de
.
, donc :
.Or :
et :
.Donc :
, donc :
.Donc, en passant aux complémentaires :
.Montrons que 4 implique 1. On suppose que :
.Soit
un ouvert de
. Donc :
, donc :
.Or :
, donc :
, donc
est un ouvert.Donc l'image réciproque de tout ouvert de
est un ouvert de
.Donc l'application
est continue sur
.
Conclusion : Les quatre propriétés sont équivalentes.
