Exo 16
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une partie non vide d'un espace vectoriel normé.
Question
Montrer que
est fermée si et seulement si
.
Une partie
est fermée si et seulement si :
.
Si
est fermée, alors :
. Donc :
. Donc :
.
Réciproquement, supposons que :
.
Pour toute partie
non vide :
. Donc :
.
Donc :
. Or :
.
Donc :
. Donc :
. Donc
est un fermé.
Conclusion : Une partie
non vide est fermée si et seulement si
.
Question
Montrer que
est ouverte si et seulement si
.
Une partie
est ouverte si et seulement si :
.
Si
est ouverte, alors :
. Donc :
. Donc :
.
Réciproquement, supposons que :
.
Pour toute partie
non vide :
. Donc :
.
Donc :
. Or :
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
. Donc
est un ouvert.
Conclusion : Une partie
non vide est ouverte si et seulement si
.
Question
Montrer que :
.
Tout élément de
est limite d'une suite d'éléments de
.
Soit
. Donc
est combinaison linéaire d'éléments de
.
Il existe
et
tels que :
.
Or tout élément de
est limite d'une suite d'éléments de
.
Donc pour tout
est limite d'une suite
d'éléments de
.
, donc :
.
La suite de terme général
est une suite d'éléments de
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Question
Montrer que, si
, alors :
.
Raisonnez par l'absurde.
, donc il existe
et
tel que :
.
On raisonne par l'absurde : on suppose que
.
Soit
. Donc
, et donc :
.
Le vecteur
vérifie :
, donc :
.
Donc :
, donc :
.
Or
est un sous-espace vectoriel de
et
.
Donc :
, donc :
, et donc :
.
On aboutit donc à une contradiction car
.
Conclusion : Si
, alors :
.
Question
Si
est un sous espace vectoriel de
, l'adhérence et l'intérieur de
sont-ils des sous-espaces vectoriels de
?
Supposons que
soit un sous espace vectoriel de
, donc :
.
Donc :
car
est ouvert.
Donc :
, et donc d'après la question précédente :
.
Donc, si
est un sous espace vectoriel, alors :
. Or :
. Donc :
.
Réciproquement, si
, alors
est un ouvert, donc
, donc
est un sous espace vectoriel de
.
Conclusion : L'intérieur d'un sous-espace vectoriel
de
est un sous-espace vectoriel de
si et seulement si
.
Remarque :
Conséquence : Le seul sous-espace vectoriel ouvert de
est
.
Si
est un sous-espace vectoriel de
, alors :
.
Donc, d'après la troisième question :
. Or :
.
Donc :
. Donc
est un sous-espace vectoriel.
Conclusion : L'adhérence d'un sous-espace vectoriel
de
est toujours un sous-espace vectoriel de
.
Remarque :
Remarque : Dans un espace vectoriel de dimension finie sur
ou
, tout sous-espace vectoriel est fermé.
En effet,
est un sous-espace vectoriel, donc il admet une base
.
Soit
une suite convergente d'éléments de
:
.
La suite
est convergente, donc c'est une suite de Cauchy.
Donc :
.
est de dimension finie, donc on peut choisir n'importe quelle norme.
.
Donc :
.
Donc pour tout
, la suite
est une suite de Cauchy de
ou
.
Donc elle converge. Soit
.
Donc la suite
converge vers
qui appartient à
.
Donc toute suite convergente d'éléments de
a sa limite dans
, donc
est fermé.
