Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'espace vectoriel
muni de la norme :
.
Question
Montrer que l'ensemble
est un ouvert de
.
Utilisez un paramétrage de l'intérieur d'une boule.
Remarque :
On peut rapidement justifier cette propriété en remarquant que
est l'image réciproque de l'intervalle ouvert
par l'application continue
.
L'objectif de l'exercice est de démontrer directement la propriété.
Il s'agit de montrer que pour tout point
de
, il existe
tel que :
.
Soit
un point de
. Donc :
.
La distance de
à la droite
d'équation
est :
.
Géométriquement, pour avoir une boule
incluse dans
, il suffit que :
.
En effet, pour tout
appartenant à
, on a :
.
Donc il existe
et
tels que :
et
.
Donc :
.
Or :
, donc :
.
Donc :
si
. Donc
.
Donc pour tout point
de
, il existe
tel que :
.
Conclusion : L'ensemble
est un ouvert de
.
Question
Montrer que l'ensemble
est un fermé de
.
Utilisez la même méthode pour démontrer que le complémentaire est un ouvert.
Remarque :
On peut également justifier cette propriété en remarquant que
est l'image réciproque de l'intervalle fermé
par l'application continue
.
L'objectif de l'exercice est de démontrer directement la propriété.
Il s'agit de montrer que le complémentaire de
est un ouvert.
Soit
un point de
. Donc :
.
Il s'agit de montrer que pour tout point
de
, il existe
tel que :
.
Soit
. Pour tout
appartenant à
, on a :
.
Donc il existe
et
tels que :
et
.
Donc :
.
Donc il existe
tel que :
.
Donc :
.
Soit
le polynôme défini par :
.
Son discriminant est :
car
.
Donc
admet deux racines
et
de signes contraires car :
.
Donc si :
, alors :
. Donc :
. Donc :
.
Donc pour tout point
de
, il existe
tel que :
.
Donc le complémentaire de
est un ouvert.
Conclusion : L'ensemble
est un fermé de
.
