Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Etudier la convergence de l'intégrale de Gauss : .
Majorez la fonction à intégrer.
La fonction : est continue sur et positive.
Donc l'intégrale est impropre seulement en .
L'intégrale est de même nature que l'intégrale : .
Or : , donc : .
Or l'intégrale est convergente : .
Donc, par majoration, l'intégrale est convergente.
Conclusion : L'intégrale de Gauss est convergente.
Question
Question
Question
En déduire le calcul de l'intégrale de Gauss : .
Utilisez les propriétés des intégrales de Wallis.
Les intégrales sont les intégrales de Wallis, déjà étudiées dans un exercice.
On a démontré que : . Donc : et : .
Donc : . Donc : .
Conclusion : L'intégrale de Gauss est égale à .