Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer la convergence de l'intégrale
.
Séparez en deux intervalles où la fonction garde un signe constant et utilisez les règles de comparaison.
La fonction
:
est continue sur
.
Donc l'intégrale est impropre en
et en
.
La fonction n'est pas positive sur
, mais garde un signe constant sur
et sur
.
Donc on peut utiliser les critères de comparaison en
et en
.
, donc l'intégrale
est de même nature que l'intégrale
.
Or cette intégrale est convergente car :
.
Donc l'intégrale
est convergente.
, donc l'intégrale
est de même nature que l'intégrale
.
Or :
, donc :
. Or l'intégrale de Riemann
converge.
Donc par comparaison, l'intégrale
est convergente ainsi que
.
Conclusion : L'intégrale
est convergente.
