Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Déterminer dans l'ensemble des points tels que l'intégrale converge.
Comparez l'intégrale à des intégrales de Riemann.
Pour tout , la fonction : est continue sur et positive.
Donc l'intégrale est impropre en et dans certains cas en .
Donc on étudie la convergence des intégrales : et .
Si et :
, donc l'intégrale converge car .
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
Donc, dans ce cas, l'intégrale converge si et seulement si : .
Si et :
, donc l'intégrale converge car .
, donc l'intégrale diverge.
Donc, dans ce cas, l'intégrale diverge.
Si et :
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
Donc, dans ce cas, l'intégrale converge si et seulement si : .
Si et :
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
Donc, dans ce cas, l'intégrale converge si et seulement si : .
Si , alors : . Donc :
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
, donc l'intégrale converge si et seulement si .
Donc, dans ce cas, l'intégrale diverge car les conditions sont incompatibles.
Si alors : . Donc :
si , si et si .
Donc l'intégrale converge dans tous les cas.
si , si et si .
Donc l'intégrale converge si et seulement si .
Donc, dans ce cas, l'intégrale converge si et seulement si : .
En résumé, l'intégrale I converge si et seulement si : ou ou ou .
Conclusion : L'ensemble cherché est .
.