Intégration d'une fonction numérique

Exo 11

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On pose : et : pour tout entier naturel .

Question

Démontrer que la suite est convergente.

Indice

Démontrez que la suite est monotone et bornée.

Solution

On étudie le sens de variations de la suite : .

et , donc .

Donc : . Et , donc : .

Donc la suite est croissante.

. Et , donc : .

Donc la suite est croissante et majorée.

Conclusion : La suite est convergente.

Question

Déterminer la limite de la suite .

Indice

Encadrez .

Solution

et , donc : .

Et , donc : . Donc : .

Conclusion : .

Question

Déterminer un équivalent de quand tend vers .

Indice

Intégrez par parties.

Solution

On intègre par parties en posant : et .

.

, donc : . Donc : .

Donc : . Donc : .

Donc : .

Conclusion : .

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