Propriétés de l'intégrale
Les fonctions considérées sont des fonctions à valeurs réelles et continues par morceaux sur un intervalle
, c'est-à-dire continues par morceaux sur tout segment contenu dans
.
Fondamental :
Linéarité
Si
et
sont deux fonctions continues par morceaux sur
:
.Si
est une fonction continue par morceaux sur
et si
est un réel :
.
Fondamental :
Relation de Chasles
Si la fonction
est continue par morceaux sur un intervalle
, alors :
.
Fondamental :
Signe d'une intégrale
Soit
une fonction continue par morceaux sur
.
Si
et si
, alors :
.
De plus, si la fonction
est continue et positive sur
, l'intégrale est nulle si et seulement si
.
Fondamental :
Comparaison d'intégrales
Soient
et
deux fonctions continues par morceaux sur
.
Si
et si
, alors :
.
En particulier, si
, alors :
.
Plus généralement, si la fonction
est continue par morceaux sur un intervalle
, alors :
.
Fondamental :
Inégalités de la moyenne
Soit
une fonction continue par morceaux sur un intervalle
et
.
Si
et si
, alors
.Si
, alors :
.
En particulier, si
et si la fonction
est continue sur
, il existe
tel que
.
Définition :
Si
et si
est continue par morceaux sur
, le réel
est la valeur moyenne de la fonction
sur
.
Fondamental :
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si
et
sont deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle
, alors :
.
Il y a égalité si et seulement si les deux fonctions sont liées.
