Intégration d'une fonction numérique

Exo 10

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux réels tels que : .

Soit une fonction continue sur et à valeurs réelles.

Question

Démontrer l'inégalité : .

Indice

Utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Solution

On utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour et : .

Donc : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

Démontrer l'inégalité : si est à valeurs strictement positives.

Indice

Utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Solution

La fonction est à valeurs strictement positives, donc les fonctions et sont continues.

Donc on peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les fonctions et .

Donc : .

Donc : .

Donc : .

Or la fonction est strictement positive. Donc : .

Conclusion : .

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