Exo 3
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Pour tout entier
, on considère la fonction
définie par :
.
Question
Déterminer la dérivée d'ordre
de la fonction
.
Il y a deux solutions :
soit vous conjecturez une formule en examinant les premiers termes, puis vous raisonnez par récurrence.
soit vous utilisez la formule de Leibniz.
Première solution
La fonction
est de classe
sur
comme produit de fonctions de classe
.
Pour
:
, donc
.
Pour
:
, donc
et
.
Pour
:
, donc
,
et
.
Pour
:
, donc
, et
.
On conjecture que :
.
On le démontre par récurrence.
Initialisation : Elle est déjà faite.
Hérédité : Soit
tel que
.
, donc :
.
La dérivée
-ième d'un polynôme de degré
est nulle.
Donc :
.
Conclusion :
.
Deuxième solution
On utilise la formule de Leibniz :
.
Or :
si
et
.
Et :
si
.
Donc :
.
Donc :
.
Or :
, donc :
et
.
Conclusion :
.
