Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux réels tels que
.
On définit deux suites
et
par
et
, et les relations :
et
.
Question
Etudier le sens de variations des suites
et
.
Commencez par démontrer que :
.
.
Et :
.
Montrons par récurrence que :
.
Initialisation :
, donc :
.
Hérédité : Soit
tel que
.
Donc :
et
.
De plus :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Donc :
et
.
Conclusion : La suite
est croissante et la suite
est décroissante.
Question
Démontrer que :
.
En déduire que les suites
et
sont convergentes.
Démontrez que les suites
et
sont adjacentes.
On raisonne par récurrence.
Initialisation :
, donc :
.
Hérédité : Soit
tel que
.
On a vu que :
, donc :
.
Et :
puisque
. Donc :
.
Or :
. Donc :
.
Conclusion :
.
, donc d'après le théorème d'encadrement :
.
De plus les suites
et
sont monotones de sens contraires, donc elles sont adjacentes.
Conclusion : Les suites
et
sont convergentes et elles admettent la même limite.
