Suites numériques

Exo 6

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

On considère la suite définie par : .

Question

Montrer que : .

Indice

Vous pouvez par exemple exprimer sous forme d'une intégrale et encadrer cette intégrale.

Une autre méthode est d'étudier les variations des fonctions et pour obtenir leur signe.

Solution

et : , donc : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire un encadrement de .

Indice

Utilisez l'inégalité de la première question.

Solution

, donc : .

Or : , donc : .

Donc : .

Or : et : .

Conclusion : .

Question

En déduire la limite de quand tend vers .

Indice

Déterminez d'abord la limite de .

Solution

et : .

Or : , donc : et .

Donc la suite de terme général est encadrée par deux suites qui tendent vers la même limite .

Donc, d'après le théorème d'encadrement, la suite est convergente et : .

Conclusion : La suite est convergente et .

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