Suites convergentes
Définition :
Une suite
est convergente s'il existe un réel
tel que :
.
S'il existe, ce réel
est unique. C'est la limite de la suite
et il est noté :
ou plus simplement
.
Fondamental :
Propriété : Toute suite convergente est bornée.
Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente !
Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général
.
Fondamental :
Théorème de Cesaro
Si une suite
converge vers une limite
, alors la suite de terme général
converge vers
.
Fondamental :
Opérations algébriques :
Le produit par un réel d'une suite convergente est une suite convergente et :
La somme de deux suites convergentes est une suite convergente et :
Le produit de deux suites convergentes est une suite convergente et :
.
Le quotient de deux suites convergentes est une suite convergente si la limite du dénominateur n'est pas nulle.
Et :
si
.
Fondamental :
Compatibilité avec la relation d'ordre :
Si deux suites convergentes vérifient :
, alors :
.
Cette propriété reste vraie même si l'inégalité n'est vraie qu'à partir d'un certain rang.
Et l'inégalité sur les limites reste large même si l'inégalité sur les termes généraux est stricte.
Fondamental :
Théorème d'encadrement :
Si une suite
est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite
, alors la suite
est convergente et sa limite est
.
Le théorème reste vrai même si l'encadrement n'est vrai qu'à partir d'un certain rang.
C'est une méthode très efficace pour démontrer la convergence d'une suite.
Fondamental :
Théorème de convergence monotone :
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
C'est une conséquence du théorème de la borne supérieure (inférieure).
Définition :
Deux suites
et
sont adjacentes si elles sont monotones de sens contraires et si
.
Propriété : Si
et
sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et admettent la même limite.