Suites numériques

Suites convergentes

Définition

Une suite est convergente s'il existe un réel tel que : .

S'il existe, ce réel est unique. C'est la limite de la suite et il est noté : ou plus simplement .

Fondamental

Propriété : Toute suite convergente est bornée.

Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente !

Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .

Fondamental

Théorème de Cesaro

Si une suite converge vers une limite , alors la suite de terme général converge vers .

Fondamental

Opérations algébriques :

  • Le produit par un réel d'une suite convergente est une suite convergente et :

  • La somme de deux suites convergentes est une suite convergente et :

  • Le produit de deux suites convergentes est une suite convergente et : .

  • Le quotient de deux suites convergentes est une suite convergente si la limite du dénominateur n'est pas nulle.

    Et : si .

Fondamental

Compatibilité avec la relation d'ordre :

Si deux suites convergentes vérifient : , alors : .

Cette propriété reste vraie même si l'inégalité n'est vraie qu'à partir d'un certain rang.

Et l'inégalité sur les limites reste large même si l'inégalité sur les termes généraux est stricte.

Fondamental

Théorème d'encadrement :

Si une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite , alors la suite est convergente et sa limite est .

Le théorème reste vrai même si l'encadrement n'est vrai qu'à partir d'un certain rang.

C'est une méthode très efficace pour démontrer la convergence d'une suite.

Fondamental

Théorème de convergence monotone :

  • Toute suite croissante majorée est convergente.

  • Toute suite décroissante minorée est convergente.

C'est une conséquence du théorème de la borne supérieure (inférieure).

Définition

Deux suites et sont adjacentes si elles sont monotones de sens contraires et si .

Propriété : Si et sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et admettent la même limite.

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