Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la suite définie par :
et
.
Question
Démontrer que la suite
est bien définie.
Etudiez le signe de
.
A chaque étape, on peut calculer
si et seulement si
.
Examinons les premiers termes :
,
,
, ...
Démontrons par récurrence que, pour tout
,
est bien défini et
.
Initialisation :
, donc
est bien défini et
.
Hérédité : Soit
tel que
soit bien défini et
.
, donc
, donc
est bien défini.
De plus
et
, donc
.
Conclusion : La suite
est bien définie et
.
Question
Etudier le sens de variations de la suite
.
Examinez les premiers termes, et raisonnez par récurrence.
En regardant les premiers termes, on conjecture que la suite est croissante.
Démontrons par récurrence que
pour tout
.
Initialisation :
et
, donc
.
Hérédité : Soit
tel que
.
car
et
.
Conclusion :
. La suite
est croissante.
Question
En déduire sa convergence et calculer sa limite.
Utilisez le théorème de convergence monotone, puis utilisez l'unicité de la limite.
La suite
est croissante et majorée par
, donc elle est convergente.
Soit
. Or :
, donc
, donc
.
Donc :
. Or :
.
Donc par unicité de la limite :
, donc :
. Or :
, donc
.
Conclusion : La suite
est convergente et
.
